U impulsada por datos FDM

Jul 08, 2023

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 9116 (2023) Citar este artículo

Detalles de métricas

La solución eficiente de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de leyes físicas es de interés para múltiples aplicaciones en informática y análisis de imágenes. Sin embargo, las técnicas de discretización de dominio convencionales para la resolución numérica de PDE, como los métodos de diferencias finitas (FDM), elementos finitos (FEM), no son adecuadas para aplicaciones en tiempo real y también son bastante laboriosas para adaptarse a nuevas aplicaciones, especialmente para los no expertos en matemáticas numéricas. y modelado computacional. Más recientemente, los enfoques alternativos para resolver PDE utilizando las llamadas redes neuronales informadas físicamente (PINN) recibieron una atención cada vez mayor debido a su aplicación directa a nuevos datos y un rendimiento potencialmente más eficiente. En este trabajo, presentamos un enfoque novedoso basado en datos para resolver PDE de Laplace 2D con condiciones de contorno arbitrarias utilizando modelos de aprendizaje profundo entrenados en un gran conjunto de soluciones FDM de referencia. Nuestros resultados experimentales muestran que tanto los problemas de Laplace 2D directos como los inversos se pueden resolver de manera eficiente utilizando el enfoque PINN propuesto con un rendimiento casi en tiempo real y una precisión promedio del 94 % para diferentes tipos de problemas de valores límite en comparación con FDM. En resumen, nuestro solucionador PINN PDE basado en aprendizaje profundo proporciona una herramienta eficiente con varias aplicaciones en el análisis de imágenes y la simulación computacional de problemas de valores límite físicos basados ​​en imágenes.

Los rápidos avances en imágenes biomédicas conducen a la generación de cantidades cada vez mayores de datos de imágenes. En muchas aplicaciones, el análisis de imágenes se restringe principalmente a la derivación de descriptores cuantitativos relativamente simples de estructuras objetivo, como el color, el volumen, el área y la forma. Sin embargo, las series de imágenes también pueden proporcionar conocimientos más profundos sobre las propiedades físicas y el comportamiento subyacentes que se encuentran detrás de los cambios dinámicos de las estructuras biológicas monitoreadas ópticamente1,2,3.

En general, el modelado consistente basado en la física requiere una solución numérica de un problema de valor límite (BVP) que viene dada por la ecuación diferencial parcial gobernante (PDE) o ley constitutiva (p. ej., ecuaciones de mecánica continua, dinámica de fluidos, difusión) y prescrita condiciones de borde. Para esta tarea, las técnicas convencionales de discretización de dominios, como la diferencia finita (FDM)4, los elementos finitos (FEM)5, los elementos de contorno (BEM)6 y los métodos sin malla7, se utilizaron con frecuencia en el contexto de las aplicaciones biomédicas8,9. Sin embargo, las técnicas numéricas convencionales no son adecuadas para aplicaciones en tiempo real y también requieren habilidades avanzadas para adaptarse a nuevos datos y objetivos de investigación. Para reducir la demanda computacional de los solucionadores numéricos convencionales, se han estudiado varios enfoques, incluidos sustitutos10,11, reducción del orden del modelo12,13,14,15,16,17 o técnicas de redes múltiples18,19,20. Si bien estos métodos avanzados son capaces de reducir los costos computacionales, no capturan todo el espectro de tareas computacionales, incluidos problemas en tiempo real, inversos y/o no lineales que aún no se abordan satisfactoriamente en muchas disciplinas interdisciplinarias y, en particular, biomédicas. aplicaciones En los últimos años, los enfoques alternativos para resolver BVP físicos y basados ​​en imágenes utilizando modelos de redes neuronales basadas en datos gozaron de una popularidad cada vez mayor. Las llamadas Redes Neuronales Físicamente Informadas (PINNs)21 entrenadas en una gran cantidad de datos representativos aprenden a inferir relaciones físicas complejas directamente de los datos. Con una cantidad suficiente de datos disponibles, los PINN pueden establecer un mapeo entre los datos de entrada y salida (p. ej., imágenes de origen y de destino) sin incorporar las leyes físicas directamente en las redes neuronales. Siendo capaces de superar una de las principales cargas técnicas del modelado numérico, una discretización laboriosa y propensa a errores de dominios espacio-temporales complejos, los PINN prometen cerrar la brecha entre los datos grandes y el modelado basado en mecanismos sofisticados con casi tiempo real. actuación. Además, el espectro de aplicabilidad de los PINN cubre no solo problemas directos sino también problemas inversos aún más desafiantes desde el punto de vista computacional21,22,23,24,25,26. En los últimos años, se informaron muchos enfoques para la aproximación basada en datos de los mecanismos físicos que utilizan redes neuronales profundas18,19,27,28,29,30, y los trabajos19,30 investigan el problema utilizando CNN. Se sabe que las redes neuronales convolucionales (CNN)31 muestran un rendimiento superior en comparación con los métodos convencionales y las técnicas de redes neuronales dispersas, especialmente mediante la aplicación a problemas de visión por computadora que requieren habilidades cognitivas de orden superior. Mientras tanto, las plataformas de codificación de aprendizaje profundo como Tensorflow, PyTorch y Keras son ampliamente utilizadas entre la comunidad de IA.

Sin embargo, los marcos PINN más conocidos están disponibles en su mayoría con plataformas de software especiales DeepXDE32, Nvidia SimNet33, NeuroDiffEq34, que carecen de una definición y solución flexibles de BVP físicos en dominios de imágenes arbitrarios. Las plataformas de simulación numérica basadas en GPU basadas en enfoques convencionales como NiftySim35 y SoFa36 son aplicaciones específicas que requieren diferentes implementaciones para diferentes problemas.

En este trabajo, nuestro objetivo es investigar la capacidad de los métodos de aprendizaje profundo para resolver de manera efectiva un BVP basado en imágenes y física con condiciones de contorno arbitrarias. En particular, aquí nos basamos en la arquitectura de red básica de U-Net, que se desarrolló originalmente para una amplia gama de problemas de segmentación de imágenes37. A diferencia de los problemas de segmentación de imágenes, la resolución de BVP físicos implica problemas de optimización multiclase o, más generales. En consecuencia, se introdujeron y entrenaron dos modificaciones de U-Net con funciones de pérdida personalizada y multiclase en un gran conjunto de soluciones FDM de referencia de la PDE 2D de Laplace.

Nuestro manuscrito presenta un marco teórico y experimental de este se estructura de la siguiente manera. Primero, describimos el esquema FDM numérico que se utilizó para resolver problemas de Laplace 2D y generar un gran conjunto de imágenes de referencia para el posterior entrenamiento de modelos de aprendizaje profundo. Luego, se presentan los resultados del desempeño del modelo PINN por aplicación a problemas de Laplace 2D directo e inverso y se comparan con las soluciones FDM de referencia. Nuestros resultados experimentales muestran que nuestros modelos PINN son capaces de parecerse a soluciones numéricas convencionales para nuevos datos invisibles con una precisión notable. Finalmente, se discuten las limitaciones actuales y las mejoras adicionales de nuestros enfoques PINN.

En este trabajo nos centramos en la solución de la ecuación diferencial parcial (EDP) de Laplace 2D, que surge en la física matemática a través de la descripción de problemas de propagación y difusión del calor. La PDE 2D de Laplace pertenece a la categoría de PDE elípticas de segundo orden:

donde \(u=u(x,y)\) es una variable escalar definida en un dominio espacial 2D y, por lo tanto, en general, una función de coordenadas. Soluciones no triviales de la ecuación. (1) con los lados derechos cero existen solo si los valores distintos de cero de \(u = u_{D} \ne 0\) se definen en algunas partes del dominio espacial \(\Omega _D \in \Omega\ ). A menudo, los valores prescritos de u se definen en algunos límites externos o internos \(\Gamma \subset \Omega\). Estas condiciones de contorno se conocen como condiciones de contorno de Dirichlet. El problema de encontrar una solución a la PDE para las condiciones de contorno dadas se denomina Problema de valor de contorno (BVP).

Soluciones analíticas de la ecuación. (1) se conocen solo para algunos casos espaciales de condiciones de contorno particularmente simples (simétricas). Uno de esos casos especiales es una solución de la PDE de Laplace no homogénea con el lado derecho en forma de función de punto de Dirac:

donde \(r(x,y)-r'(x',y')\) es un vector que apunta desde la coordenada \((x',y')\), donde se aplicó el impulso de Dirac, a alguna otra coordenada (x, y) del dominio 2D infinito \(\Omega\). La solución de la Ec. (2) también conocida como la solución fundamental de la PDE de Laplace 2D viene dada por38

El BVP definido por la ecuación. (1) con condiciones de contorno arbitrarias puede, en general, resolverse solo numéricamente.

En este trabajo, se aplica el método de diferencias finitas en la cuadrícula de imagen 2D regular para este propósito. En particular, FDM aproxima las derivadas por diferencias entre los valores de las variables entre los nodos vecinos de la red, es decir

En consecuencia, la ecuación FDM de la PDE 2D de Laplace de segundo orden en la cuadrícula regular de nodos de imagen (es decir, píxeles) toma la forma:

donde (i, j) son índices de píxeles de imagen en el sistema de coordenadas euclidianas (XY). Consideración de la Ec. (5) para todos los píxeles de la imagen conduce a un sistema lineal de ecuaciones para valores nodales desconocidos \(u_{ij}\), que después de la implementación de valores nodales conocidos (es decir, condiciones de contorno de Dirichlet prescritas) se puede escribir de forma compacta en forma de matriz como sigue:

donde A es una matriz definida positiva y simétrica y b es el vector del lado derecho resultante de la implementación de valores conocidos de u.

En este trabajo, la discretización FDM de la Eq. (5), su montaje en la Ec. (6) seguido de una solución numérica posterior utilizando el método de gradiente conjugado precondicionado (PCG) se implementó bajo MATLAB 2021a. El solucionador FDM implementado como se describe anteriormente se evaluó en primer lugar mediante una comparación directa frente a la solución analítica exacta de la PDE de Laplace 2D [es decir, la solución fundamental en Eq. (3)] ​​y luego se aplica para resolver las condiciones de contorno arbitrarias de BVP.

Para entrenar adecuadamente el modelo PINN para emular con precisión las soluciones de la PDE de Laplace 2D para condiciones de contorno arbitrarias, se debe generar un gran conjunto de imágenes BVP de referencia por pares y sus soluciones FDM. Para ello, se generó un conjunto de imágenes BVP con diferentes patrones geométricos de dominios de Dirichlet y distribuciones de valores prescritos en estos subdominios. Para la definición de diferentes patrones geométricos se utilizaron formas primitivas tales como manchas, puntos, líneas, triángulos, rectángulos, círculos, etc., y sus variaciones aleatorias y perturbaciones de escala y ubicación. En el siguiente paso, se asignaron valores prescritos de \(u\in [25,255]\) a los píxeles de cada patrón geométrico. Al construir la distribución de los valores prescritos, se utilizaron varias estrategias de perturbación. Primero, la estrategia se basa en la generación de valores constantes, gradientes o aleatorios. El siguiente factor que influyó en la distribución fue la aleatorización de los parámetros de estas distribuciones. Por ejemplo, en el caso de los patrones de gradiente, la dirección y la magnitud del gradiente se aleatorizaron dentro de un rango de algunos límites admisibles.

Nuestro enfoque para la emulación de 2D Laplace PDE utilizando un modelo PINN se basa en la adaptación del marco de segmentación de imágenes de U-Net. Sin embargo, a diferencia de las tareas típicas de segmentación de imágenes, la resolución de BVP físicos continuos requiere la introducción de funciones de pérdida adecuadas. Aquí, usamos e investigamos el rendimiento de U-Net con dos funciones de pérdida alternativas que incluyen (i) entropía categórica dispersa (SCE) multiclase (Ec. 7) y (ii) el error cuadrático medio (MSE) (Ec. 8 ):

donde \(z_{i,j}\) indica si el i-ésimo píxel se clasifica correctamente para la etiqueta de clase j dada, \(p_{i,j}\) es la puntuación de confianza de la clasificación, N es el número de píxeles y M es el número de clases, y

donde \(q_i^*\) es el valor de verdad fundamental en el i-ésimo píxel de la imagen, \(q_i\) es el valor predicho para el parámetro de red dado \(\theta\) y N es el número de píxeles de la imagen. En consecuencia, estas dos modificaciones de U-Net se denominan además MC U-Net y MSE U-Net.

Además, toda la arquitectura de U-Net debe modificarse para lograr un buen rendimiento al resolver los BVP físicos. Las modificaciones del U-Net original son las siguientes. Las capas de exclusión se han reemplazado con capas de normalización por lotes en nuestro estudio. La normalización de lotes estandariza la entrada para cada mini lote, lo que aumenta la estabilidad y la velocidad del entrenamiento de modelos. Sin normalización por lotes, cuando hay un cambio en la distribución de entrada al modelo, las capas ocultas intentan adaptarse a la nueva distribución, lo que provoca un cambio de covariable interno39. Las modificaciones de la arquitectura U-Net introducidas en este trabajo se resumen en la Tabla 1.

Los modelos directos están entrenados para predecir las soluciones FDM de BVP dadas por la PDE 2D de Laplace con condiciones de contorno prescritas. Para el entrenamiento de modelos directos, los datos de entrada se definieron mediante imágenes BVP sintéticas generadas como se describe anteriormente, mientras que los datos de salida los proporciona la solución FDM de imágenes BVP. En consecuencia, los modelos directos fueron entrenados para asignar correctamente los valores de intensidad de los píxeles de la imagen a una de un total de 256 clases posibles (es decir, valores de intensidad) de imágenes de 8 bits. Dicho modelo está basado puramente en datos y no incluye explícitamente ecuaciones físicas como parte de las funciones de costo.

Los modelos inversos se entrenan invirtiendo los conjuntos de datos de entrada y salida que se usaron para el entrenamiento del modelo directo. En consecuencia, los modelos inversos tenían como objetivo aprender a reconstruir la imagen BVP original a partir de su solución (FDM).

Tanto los modelos PINN directos como los inversos se desarrollaron bajo Python 3.8 usando TensorFlow40 con Keras API. Además, algunas operaciones de procesamiento de imágenes, como la lectura y la preparación de datos de entrenamiento, se realizaron utilizando PIL, NumPy41 y Scikit-image42. Seguidamente, los modelos PINN se entrenaron en una máquina GPU con un sistema operativo Linux (CPU Intel(R) Core(TM) i7-10700K @3.80 GHZ) y tarjeta gráfica NVIDIA RTX 3090-24GB. En cuanto a la configuración del entrenamiento del modelo, los conjuntos de datos preparados se dividieron en entrenamiento y validación en una proporción de 85:15 respectivamente según nuestras experiencias y estudios previos43,44. Los pesos iniciales del modelo PINN se definieron aleatoriamente con media cero y desviación estándar de 0,05, como proponen45. Aquí, AdamOptimizer46 se utiliza para optimizar el modelo y mejorar el rendimiento de los conjuntos de datos de entrenamiento. Luego, los modelos MC U-Net se entrenaron para 500 épocas con 24 funciones de canal convolucional con una tasa de aprendizaje de 0,0001 y un tamaño de lote de 256 y los modelos MSE U-Net se entrenaron para 2000 épocas con 24 características de canal convolucional con una tasa de aprendizaje de 0,0001 y un tamaño de lote de 128.

Las predicciones de los modelos PINN directo e inverso (\(I_{\text {PINN}}\)) se validan mediante comparación directa con soluciones FDM de referencia (\(I_{\text {FDM}}\)). Para tener en cuenta las diferencias admisibles debidas al redondeo de valores de coma flotante a intensidades de imagen de valor entero, se toleraron diferencias de hasta un valor de intensidad (es decir, desviaciones de más-menos una clase de segmentación), es decir

El rendimiento de los modelos PINN frente a las soluciones FDM se evaluó utilizando derivados convencionales de la matriz de confusión multiclase, que en nuestro caso cuenta con 256 clases (es decir, valores de intensidad de una imagen de 8 bits). Se han utilizado las mismas métricas para evaluar los modelos MSE U-Net, ya que los resultados son imágenes de 8 bits y los valores de píxel se redondean al valor entero más cercano. En particular, se evaluaron la precisión y la puntuación F1 para cada imagen de prueba:

donde Precisión y Sensibilidad son

Además, se calcularon el error absoluto medio (MAE) y el error cuadrático medio (MSE) de todos los píxeles de la imagen:

donde \(p_i^*\) es el valor de verdad fundamental en el i-ésimo píxel de la imagen y \(p_i\) es el valor de predicción. Los valores atípicos particularmente grandes de las predicciones de PINN se localizaron mediante el umbral de la diferencia entre las soluciones FDM y PINN:

El conjunto de referencia de soluciones numéricas de la EDP de Laplace 2D se generó mediante el método de diferencias finitas, como se describe en la sección Métodos. Para validar la precisión del solucionador FDM, se compararon soluciones numéricas con la solución fundamental de la PDE de Laplace 2D, véase la ecuación. (3). Para ello, se calcularon soluciones analíticas y numéricas para un subdominio cuadrático \(\Omega\) del medio infinito \(\Omega _{\text {inf}}\) que no incluye el punto fuente (\(|r -r'|>0\,,\forall r(x,y) \in \Omega\)), donde la solución fundamental exhibe un comportamiento singular (\(u(r=r') \rightarrow \infty\)) , ver Fig. 1. La validación de la solución FDM frente a la solución fundamental de la PDE 2D de Laplace se realizó solo para los puntos internos del subdominio \(r(x,y)\in \Omega \backslash \Gamma\) . Los valores de contorno de la solución fundamental \(u(r(x,y)),\,r(x,y)\in \Gamma\) que usamos como condiciones de contorno prescritas para el cálculo posterior de la solución FDM dentro de \(r (x,y)\en \Omega\barra invertida \Gamma\). La base teórica de este enfoque está dada por el teorema integral de Gauss, que establece que la solución dentro de un dominio espacial cerrado se define únicamente por sus valores límite.

La validación de la solución FDM frente a la solución analítica (fundamental) de la PDE 2D de Laplace u(r(x, y)) se realiza para el subdominio cuadrático \(r(x,y)\in \Omega\) del medio infinito \ (\Omega _{\text {inf}}\). Para la validación, solo se consideraron los puntos internos (es decir, los píxeles de la imagen interna) \(r(x,y)\in \Omega \backslash \Gamma\), mientras que los valores límite se establecieron igual a la solución fundamental \(u(r( x,y))=u_{\text {fs}},~r(x,y)\in \Gamma\) y se utilizan como condiciones de contorno para calcular la solución FDM en los nodos de dominio interno.

La figura 2 muestra una comparación de la solución analítica frente a FDM calculada en la cuadrícula de 128 \(\times\) 128 imágenes del subdominio \(\Omega\). Como se puede ver, la diferencia absoluta entre las soluciones fundamental y FDM asciende a \(1\text {e-}5\) alcanzando el máximo en la vecindad del punto fuente singular.

Comparación de la solución fundamental de la PDE de Laplace 2D frente a una solución numérica calculada utilizando la FDM para un subdominio de imagen de 128 \(\times\) 128. De izquierda a derecha: gráfica de la solución fundamental (FS) para un 128 \(\times\) 128 subdominio muestreado del medio infinito, gráfica de la solución FDM calculada a partir de los valores FS definidos en el límite de la 128 \(\ veces\) 128 imagen, la diferencia entre las soluciones fundamental y FDM.

Para investigar los efectos de la discretización del dominio de la imagen y la cantidad de datos de entrenamiento sobre los resultados del rendimiento del modelo PINN, se generaron nueve conjuntos de imágenes BVP de referencia y las soluciones FDM correspondientes. Estos nueve conjuntos de datos se componen de 10, 40 y 70 mil imágenes BVP (más conocidas como conjuntos de datos de 10k, 40k y 70k) que incluyen tres resoluciones espaciales diferentes (64 \(\times\) 64, 128 \(\times\) 128 , 256 \(\times\) 256), consulte la Tabla 2. Para permitir el rendimiento preciso de los modelos PINN en BVP arbitrarios, se consideró una gran variabilidad en los patrones geométricos y las condiciones de contorno al generar el conjunto de referencia de imágenes BVP. En consecuencia, cada conjunto de imágenes se generó mediante la combinación de varias estrategias para la definición de patrones geométricos (p. ej., puntos, líneas, contornos y formas sólidas) y la distribución espacial de valores prescritos (es decir, condiciones de contorno), incluidas constantes, gradientes y distribuciones aleatorias. En la distribución de degradado, los valores de los píxeles se asignan de forma incremental de 25 a 255 a lo largo de diferentes direcciones. En la Fig. 3 se muestran ejemplos de imágenes BVP para tres tipos diferentes de condiciones de contorno (que incluyen distribuciones constantes, de gradiente y aleatorias). Además, se implementaron diferentes direcciones y magnitudes de gradientes para evitar posibles sesgos en los datos de entrenamiento.

Ejemplo de generación de imágenes BVP. De izquierda a derecha: imagen binaria (es decir, patrón geométrico) para la definición de distribuciones prescritas (Dirichlet), constantes, de gradiente y de valores aleatorios definidas en el mismo patrón geométrico.

Los modelos PINN directos se entrenaron para emular soluciones FDM de 2D Laplace PDE utilizando nueve conjuntos de datos de la Tabla 2 como se describe en la sección "Métodos". En la Fig. 4 se muestran ejemplos de predicciones del modelo PINN basadas en el conjunto de datos de entrenamiento 4 de la Tabla 2, incluidos tres tipos diferentes de BVP. En general, las predicciones del modelo PINN exhiben una gran similitud con las soluciones FDM que cruzan todos los tipos de imágenes BVP. Sin embargo, un análisis detallado muestra diferencias significativas en las medidas de rendimiento de PINN entre diferentes tipos de BVP. Se puede ver, por ejemplo, que el rendimiento del modelo es significativamente más preciso cuando se aplica a imágenes BVP con condiciones de límite constantes y de gradiente en comparación con valores de límite distribuidos aleatoriamente en ambos métodos, consulte la Fig. S1 complementaria. En el caso del modelo MC U-Net, se observaron efectos distintivos de las resoluciones de imágenes espaciales en el entrenamiento del modelo. En particular, el modelo MC U-Net exhibió un sobreajuste temprano dentro de las primeras 50 épocas solo cuando se entrenó en 256 \(\times\) 256 pero no en 64 \(\times\) 64 y 128 \(\times\) 128 Imágenes BVP. Esto se remonta al hecho de que los intervalos de muestra en las soluciones FDM de 256 \(\times\) 256 son significativamente más pequeños en comparación con las soluciones FDM de 128 \(\times\) 128 y 64 \(\times\) 64, lo que lleva este modelo para capturar más características además de las características más destacadas. Para abordar este problema, el maxpooling se incrementó de 2 a 4, lo que ayudó a mitigar el problema, consulte la Fig. S3 complementaria. Por lo tanto, los modelos basados ​​en MSE U-Net entrenados con conjuntos de datos de 10k superan al modelo MC U-Net entrenado con conjuntos de datos de 70k, que es el modelo de MC U-Net con mejor rendimiento, consulte la Fig. S1 complementaria. Se pueden encontrar medidas de rendimiento adicionales para los modelos MC U-Net en Materiales complementarios, Fig. S4–S6. Las métricas de rendimiento de los modelos directos se presentan en la Tabla 3.

Comparación ejemplar de las soluciones FDM frente a las predicciones del modelo U-Net de MSE directo entrenadas en 10k 128 \(\times\) 128 imágenes reales del terreno. De izquierda a derecha: (primera columna) imágenes BVP originales, (segunda columna) soluciones FDM de la PDE 2D de Laplace calculadas a partir de imágenes BVP, (tercera columna) resultados de las predicciones del modelo PINN directo calculadas a partir de imágenes BVP (primera columna), (cuarta columna) columna) la diferencia absoluta entre FDM (segunda columna) y las imágenes BVP predichas por PINN directo (tercera columna). De arriba a abajo: ejemplos de gradiente que contiene (arriba), constante (medio) y condiciones de contorno distribuidas aleatoriamente (abajo). El degradado de color indica los valores de intensidad y su diferencia oscilando entre [0, 255].

Los modelos inversos tienen como objetivo reconstruir la BVP inicial (es decir, imagen dispersa) a partir de la solución de la PDE de Laplace 2D (es decir, imágenes suavizadas). La solución numérica de problemas inversos usando métodos convencionales es a menudo una tarea no trivial. Dentro del alcance de la resolución de PDE basada en PINN, esta tarea se aborda de manera trivial invirtiendo la dirección del entrenamiento del modelo de conjuntos de imágenes de destino a origen, es decir, intercambiando datos de entrada y salida utilizados para el entrenamiento de modelos directos. En la figura 5 se muestran ejemplos del rendimiento del modelo inverso 128 \(\times\) 128 para diferentes tipos de problemas BVP.

Comparación ejemplar de imágenes BVP originales frente a predicciones del modelo U-Net MSE inverso entrenadas en imágenes reales de 10k 128 \(\times\) 128. De izquierda a derecha: (primera columna) imágenes BVP originales, (segunda columna) soluciones FDM de la PDE de Laplace 2D calculadas a partir de imágenes BVP, (tercera columna) resultados de predicciones del modelo PINN inverso calculados a partir de soluciones FDM (segunda columna), (cuatro columna) la diferencia absoluta entre las imágenes BVP originales (primera columna) e inversamente predichas por PINN (tercera columna). De arriba a abajo: ejemplos de gradiente que contiene (arriba), constante (medio) y condiciones de contorno distribuidas aleatoriamente (abajo). El degradado de color indica los valores de intensidad y su diferencia oscilando entre [0, 255].

Validación de predicciones PINN inversas vs FDM. De izquierda a derecha: (primera columna) imagen BVP original, (segunda columna) solución FDM de 2D Laplace PDE para la condición de contorno dada por la imagen BVP original, (tercera columna) reconstrucción de la imagen BVP original a partir de la solución FDM usando el modelo PINN inverso, (cuarta columna) solución FDM de la PDE 2D de Laplace para las condiciones de contorno dadas por la imagen BVP predicha inversamente, (quinta columna) diferencia entre las soluciones FDM (segunda y cuatro columnas) calculada a partir de las imágenes BVP original y predicha inversamente (primera y tercera columnas). De la fila superior a la inferior: BVP aleatorio (superior), sólido (medio) frente a círculo vacío BVP (inferior) con los mismos valores límite. A pesar de las diferencias entre las imágenes BVP originales y las reconstruidas inversamente, sus soluciones FDM no muestran esa gran diferencia. A su vez, el modelo PINN inverso no recupera los valores correctos dentro del círculo vacío debido a la ambigüedad principal de las soluciones inversas de imágenes FDM por lo demás iguales. El mapa de colores indica los valores de intensidad y sus diferencias en el rango [0, 255]. Las puntuaciones F1 entre las soluciones FDM de BVP original (segunda columna) y las soluciones FDM de predicción inversa (cuarta columna) son 99 % (fila superior), 100 % (fila central) y 100 % (fila inferior), respectivamente.

Sin embargo, se sabe que una recuperación exacta de las condiciones de contorno originales está asociada con la incompletitud del principio, ya que diferentes condiciones de contorno a veces pueden conducir a soluciones bastante similares. Con ambos enfoques, las condiciones de contorno inversas pronosticadas son escasas en comparación con las condiciones de contorno originales y el cálculo FDM para las condiciones de contorno escasamente predichas muestra que las soluciones FDM de las condiciones de contorno inversamente predichas muestran una gran similitud con las soluciones FDM reales, lo que prueba la afirmación , ver. Fig. 6. Como se puede ver en el resumen de las métricas de rendimiento para los modelos U-Net inversos en la Tabla 4, exhiben un error de MSE sustancialmente mayor que los modelos directos cf. Tabla 3. Se ha observado que las condiciones de contorno previstas son más escasas en los modelos MSE U-Net que en los modelos MC U-Net. Por lo tanto, los modelos MSE U-Net exhiben puntajes F1 más bajos en comparación con los modelos MC U-Net. Dado que los modelos MSE U-Net generan predicciones inversas dispersas, se realizaron más análisis con los modelos MC U-Net, consulte S2. Se pueden encontrar medidas de rendimiento adicionales para los modelos MC U-Net en la figura complementaria S7–S9 y la tabla complementaria S1.

Desde el punto de vista del procesamiento de imágenes, el modelo 2D inverso de Laplace realiza efectivamente una especie de desenfoque de imágenes suavizadas. La figura 7 muestra un ejemplo de reconstrucción inversa de la imagen original a partir de su versión suavizada gaussiana con \(\sigma =8\) y un total de 12 iteraciones usando el modelo PINN inverso 128 \(\times\) 128 70k. Las diferencias marginales entre las imágenes originales y las reconstruidas inversamente se deben a las diferencias entre los algoritmos de reconstrucción PINN inversa (laplaciano 2D) y suavizado de imágenes (gaussiano 2D). Otra causa de la discrepancia de la predicción inversa de la imagen BVP original se debe a la ambigüedad del principio de las soluciones inversas, cf. Figura 6.

Ejemplo de aplicación del modelo inverso 128 \(\times\) 128 70k MC U-Net para desenfoque de una imagen suavizada gaussiana (\(\sigma =8\), 12 iteraciones). De izquierda a derecha: imagen original, imagen suavizada gaussiana, el resultado de desdibujar la imagen suavizada gaussiana utilizando el modelo PINN inverso. El mapa de colores indica diferencias entre las imágenes originales y reconstruidas inversamente en el rango entre [0, 255]. La puntuación F1 entre la imagen original y la imagen reconstruida es del 67%.

Análisis del rendimiento computacional de los modelos PINN frente a FDM con 500 imágenes BVP seleccionadas aleatoriamente entre el conjunto de datos de validación de 128 \(\times\) 128 que contiene ejemplos de todos los BVP posibles. El tiempo medio que tarda el solucionador PINN se compara con la solución FDM en función de la resolución de la imagen, así como del número de nodos con condiciones de contorno prescritas (es decir, píxeles de Dirichlet), ya que determina la dispersión de la matriz de rigidez y su solución numérica mediante PCG. En la Tabla 5 y la Fig. 8 se muestra un resumen del rendimiento computacional de los modelos PINN preentrenados frente a FDM. Como se puede ver, el cálculo de soluciones de PDE de Laplace 2D utilizando modelos PINN es mucho más eficiente en comparación con las soluciones iterativas que utilizan FDM. Incluso si se considera que el tiempo computacional de FDM varía según el número de píxeles de Dirichlet para el mismo tamaño de imagen, no tiene un gran efecto. Con el aumento de la resolución de imagen, el rendimiento de cálculo de FDM crece significativamente más rápido en comparación con los modelos PINN que realizan el cálculo de imágenes de hasta 256 \(\times\) 256 de tamaño en menos de 1 s.

Comparación del rendimiento PINN computacional frente a FDM para 256 \(\times\) 256 imágenes. Izquierda: tiempo transcurrido de predicciones PINN (rojo) frente a soluciones FDM (azul) en segundos para 500 imágenes BVP de prueba. Derecha: tiempo transcurrido de las soluciones PINN vs. FDM en función del número de píxeles con valores prescritos (píxeles de Dirichlet). La dependencia del tiempo computacional en el número de píxeles de Dirichlet tiene que ver con esfuerzos adicionales para la implementación de los valores límite prescritos.

Nuestro solucionador 2D Laplace PINN se implementó como una herramienta de demostración ejecutable que se puede ejecutar en los sistemas operativos Windows y Linux mediante una simple llamada de línea de comando: model.exe . Se puede descargar junto con imágenes de ejemplo de https://ag-ba.ipk-gatersleben.de/Lap2Dpinn.html.

En este estudio, desarrollamos e investigamos dos modelos PINN para resolver problemas arbitrarios de valores límite de Laplace en 2D definidos en imágenes de 8 bits. Nuestros resultados experimentales mostraron que los modelos PINN entrenados en un gran conjunto de soluciones de FDM de referencia son capaces de predecir de manera realista soluciones de nuevos BVP de Laplace 2D directos e inversos nunca antes vistos con una precisión notablemente alta pero en un tiempo computacional mucho más corto en comparación con FDM.

Para cubrir una amplia gama de problemas de valores en la frontera, los modelos PINN se entrenaron en diferentes tipos de problemas de valores en la frontera. Si bien todos estos tipos de BVP son matemáticamente admisibles, algunos de ellos parecen ser más significativos físicamente (condiciones de límite constantes o de gradiente) que otros (valores de límite distribuidos aleatoriamente). Desde este punto de vista, no sorprende que la precisión en la predicción de BVP físicamente más significativos sea mayor que en el caso de condiciones de contorno aleatorias. En general, la elección de tipos adecuados de BVP depende del problema físico concreto, pero en el caso de la PDE de Laplace 2D, las condiciones de contorno aleatorias parecen no ser físicamente relevantes.

Tanto los BVP de Laplace 2D directos como los inversos se pueden resolver utilizando modelos PINN de una manera no iterativa con una precisión notable. Sin embargo, la comparación del rendimiento de los modelos PINN directos e inversos muestra que los modelos directos hacen predicciones más precisas que los modelos inversos. Sin embargo, esto no es sorprendente ya que diferentes condiciones de contorno pueden producir soluciones similares. Se utilizaron dos funciones de pérdida alternativas para el entrenamiento del modelo PINN. En el caso de los modelos PINN directos, los modelos U-Net entrenados con la función de pérdida MSE muestran un rendimiento ligeramente mejor en comparación con los modelos U-Net multiclase que fueron entrenados con las funciones de pérdida SCE. Sin embargo, esto no se observó para las predicciones inversas, lo que puede atribuirse a la ambigüedad del principio en las soluciones inversas y errores mayores en comparación con las soluciones directas47. Sin embargo, debido a la restricción de la medida SCE a clases de valores enteros, la función de pérdida MSE tiene un espectro de aplicaciones más general. La evaluación de las predicciones del modelo PINN se realizó utilizando varias métricas diferentes. Sin embargo, como ya se sabe por trabajos anteriores, la cuantificación de la precisión utilizando la medida de puntuación F1 es más ventajosa, especialmente en el caso de distribuciones desiguales como, en particular, el caso de problemas inversos con condiciones de contorno dispersas. Los modelos PINN desarrollados en este trabajo toman imágenes de entrada sin procesar y no requieren ningún esfuerzo adicional para la discretización del dominio, el ensamblaje del sistema lineal de ecuaciones y su solución iterativa. Estas características los convierten en una herramienta eficiente y fácil de usar para una aplicación sencilla, especialmente, para problemas interdisciplinarios. Sin embargo, todavía existen ciertas limitaciones técnicas (es decir, GPU) relacionadas con el tamaño de los dominios de imagen para los que se pueden entrenar los modelos PINN. Incluso si estas cargas técnicas pueden superarse en el futuro, la investigación adicional de las técnicas de resolución de PINN que se basan en nubes de puntos no estructuradas48 parece ser de interés general.

El trabajo actual representa un estudio de viabilidad con aplicación al problema de Laplace 2D definido en el dominio de la imagen de valor entero. Las extensiones del enfoque PINN a una clase más general de BVP valorados en coma flotante y/o multidimensionales utilizando una función de pérdida MSE más general son sencillas. Se requieren más investigaciones para diseccionar las capacidades principales y los límites de precisión de los enfoques PINN sugeridos mediante su aplicación a otros problemas de valores límite basados ​​en imágenes y física.

Información complementaria con imágenes de ejemplo acompaña a este manuscrito. Los conjuntos de datos adicionales utilizados y analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

Gladilin, E. et al. Análisis de elementos finitos del estiramiento de celdas uniaxiales: de la imagen al conocimiento. J. Microsc. 4, 104–113 (2007).

CAS Google Académico

Gonzalez, P., Reichenzeller, M., Eils, R. & Gladilin, E. Sondeo de la compresibilidad del interior nuclear en células deficientes en láminas y de tipo salvaje utilizando imágenes microscópicas y modelado computacional. J. Biomech. 44, 2642–2648 (2011).

Artículo Google Académico

Gladilin, E., Eils, R. & Peshkin, L. Sobre la división celular embrionaria más allá del mecanismo del anillo contráctil: Investigación experimental y computacional de los efectos del confinamiento vitelino, la temperatura y el tamaño del huevo. PeerJ. 3 (2015).

Trew, ML, Smaill, BH, Bullivant, DP, Hunter, PJ & Pullan, AJ Un método generalizado de diferencias finitas para modelar la activación eléctrica cardíaca en mallas computacionales arbitrarias e irregulares. Matemáticas. Biosci. 198, 169–189 (2005).

Artículo MathSciNet PubMed MATH Google Scholar

Maas, SA, Ateshian, GA & Weiss, JA Febio: Historia y avances. año Rev. Biomédica. Ing. 19, 279–299 (2017).

Artículo CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Mackerle, J. Métodos de elementos finitos y de contorno en biomecánica: una bibliografía (1976–1991). Ing. computar 9, 403–435 (1992).

Artículo MathSciNet Google Académico

Zhang, L., Ademiloye, A. y Liew, K. Métodos sin malla y de partículas en biomecánica: perspectivas y desafíos. Arco. computar Métodos Ing. 26 (2018).

Mang, A., Bakas, S., Subramanian, S., Davatzikos, C. y Biros, G. Modelado biofísico integrado y análisis de imágenes: aplicación a la neurooncología. año Rev. Biomédica. Ing. 22, 309–341 (2020).

Artículo CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Chengyue, W. et al. Integración de modelos basados ​​en mecanismos con imágenes biomédicas para construir gemelos digitales prácticos para la oncología clínica. Biografía. Rev. 3, 021304 (2022).

Artículo Google Académico

Eskinazi, I. & Fregly, BJ Una caja de herramientas de código abierto para el modelado sustituto de la mecánica de contacto articular. Trans. IEEE. biomedicina Ing. 63, 269–277 (2015).

Artículo PubMed PubMed Central Google Académico

Halloran, JP, Erdemir, A. & Van Den Bogert, AJ Modelado sustituto adaptativo para el acoplamiento eficiente del control musculoesquelético y los modelos de deformación tisular. J. Biomech. Ing. 131, 011014 (2009).

Artículo PubMed Google Académico

Niroomandi, S., Alfaro, I., Cueto, E. & Chinesta, F. Modelo de reducción de orden para materiales hiperelásticos. En t. J. Número. Método Ing. 81, 1180–1206 (2010).

Artículo MathSciNet MATEMÁTICAS Google Académico

Barbič, J. & James, DL Integración subespacial en tiempo real para modelos deformables de St. Venant-Kirchhoff. ACM Trans. Grafico. ATAVIAR. 24, 982–990 (2005).

Artículo Google Académico

An, SS, Kim, T. & James, DL Optimización de la cubatura para la integración eficiente de deformaciones subespaciales. ACM Trans. Grafico. TOG 27, 1–10 (2008).

Artículo Google Académico

Goury, O. & Duriez, C. Control y simulación rápidos, genéricos y confiables de robots blandos mediante la reducción del orden del modelo. Trans. IEEE. Robar. 34, 1565-1576 (2018).

Artículo Google Académico

Chaturantabut, S. & Sorensen, DC Interpolación empírica discreta para la reducción de modelos no lineales. En Actas de la 48h Conferencia IEEE sobre Decisión y Control (CDC) celebrada conjuntamente con la 28.ª Conferencia China de Control de 2009, 4316–4321 (IEEE, 2009).

Bui-Thanh, T., Willcox, K. & Ghattas, O. Reducción de modelos para sistemas a gran escala con espacio de entrada paramétrico de alta dimensión. SIAM J. Ciencia. computar 30, 3270–3288 (2008).

Artículo MathSciNet MATEMÁTICAS Google Académico

Meister, F. et al. Hacia un modelado biomecánico rápido de tejidos blandos utilizando redes neuronales. https://doi.org/10.48550/ARXIV.1812.06186 (2018).

Mendizabal, A., Márquez-Neila, P. & Cotin, S. Simulación de materiales hiperelásticos en tiempo real mediante aprendizaje profundo. Medicina. Anal de imagen. 59, 101569 (2020).

Artículo PubMed Google Académico

Margenberg, N., Hartmann, D., Lessig, C. y Richter, T. Un solucionador de redes neuronales múltiples para las ecuaciones de Navier-Stokes. J. Cómputo. física 460, 110983 (2022).

Artículo MathSciNet MATEMÁTICAS Google Académico

Raissi, M., Perdikaris, P. & Karniadakis, GE Física informada de aprendizaje profundo (parte I): soluciones basadas en datos de ecuaciones diferenciales parciales no lineales. CoRR. abs/1711.10561 (2017). 1711.10561.

Fetene, BN, Shufen, R. & Dixit, EE. UU. Modelado de red neuronal basado en Fem de flexión asistida por láser. Cómputo neuronal. aplicación 29, 69–82 (2018).

Artículo Google Académico

Reichstein, M. et al. Aprendizaje profundo y comprensión de procesos para la ciencia del sistema terrestre basada en datos. Naturaleza 566, 195–204 (2019).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Alber, M. et al. Integración del aprendizaje automático y el modelado multiescala: perspectivas, desafíos y oportunidades en las ciencias biológicas, biomédicas y del comportamiento. Dígito NPJ. Medicina. 2, 1–11 (2019).

Artículo Google Académico

Iten, R., Metger, T., Wilming, H., Del Rio, L. & Renner, R. Descubriendo conceptos físicos con redes neuronales. física Rev. Lett. 124, 010508 (2020).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Karniadakis, GE et al. Aprendizaje automático informado por la física. Nat. Rev. Phys. 3, 422–440 (2021).

Artículo Google Académico

Roewer-Despres, F., Khan, N. y Stavness, I. Hacia la simulación de elementos finitos mediante el aprendizaje profundo. En el 15º Simposio Internacional sobre Métodos Informáticos en Biomecánica e Ingeniería Biomédica (2018).

Luo, R. et al. NNWarp: Deformación no lineal basada en redes neuronales. Trans. IEEE. Vis. computar Gráfico. https://doi.org/10.1109/tvcg.2018.2881451 (2018).

Artículo PubMed Google Académico

Odot, A., Haferssas, R. & Cotin, S. Deepphysics: un marco de aprendizaje profundo consciente de la física para la simulación en tiempo real. En t. J. Número. Método Ing. 123, 2381–2398 (2022).

Artículo MathSciNet Google Académico

Cai, S., Liang, J., Gao, Q., Xu, C. y Wei, R. Velocimetría de imagen de partículas basada en un estimador de movimiento de aprendizaje profundo. Trans. IEEE. instrumento medida 69, 3538–3554 (2019).

Artículo ANUNCIOS Google Académico

O'Shea, K. & Nash, R. Introducción a las redes neuronales convolucionales. arXiv e-printsarXiv:1511.08458 (2015).

Lu, L., Meng, X., Mao, Z. & Karniadakis, GE Deepxde: una biblioteca de aprendizaje profundo para resolver ecuaciones diferenciales. SIAM Rev. 63, 208–228 (2021).

Artículo MathSciNet MATEMÁTICAS Google Académico

Hennigh, O. et al. Nvidia simnet\(^TM\): un marco de simulación multifísica acelerado por IA. En Conferencia Internacional sobre Ciencias Computacionales, 447–461 (Springer, 2021).

Chen, F. et al. Neurodiffeq: un paquete de Python para resolver ecuaciones diferenciales con redes neuronales. J. Software de código abierto. 5, 1931 (2020).

Artículo ANUNCIOS Google Académico

Johnsen, SF et al. Niftysim: un paquete de elementos finitos no lineales basado en GPU para la simulación de la biomecánica de los tejidos blandos. En t. J. Cómputo. Asistir. Radiol. Cirugía 10, 1077–1095 (2015).

Artículo PubMed Google Académico

Comas, O. et al. Fem no lineal eficiente para el modelado de tejidos blandos y su implementación de gpu dentro del sofá de marco de código abierto. En Simposio Internacional sobre Simulación Biomédica, 28–39 (Springer, 2008).

Ronneberger, O., Fischer, P. & Brox, T. U-net: Redes convolucionales para la segmentación de imágenes biomédicas. En Computación de imágenes médicas e intervención asistida por computadora (MICCAI), vol. 9351 de LNCS, 234–241 (Springer, 2015).

Young, D., Tsai, C.-C., Chen, C. y Fan, C.-M. El método de soluciones fundamentales y análisis de número de condición para problemas inversos de la ecuación de Laplace. computar Matemáticas. aplicación 55, 1189–1200 (2008).

Artículo MathSciNet MATEMÁTICAS Google Académico

Ioffe, S. & Szegedy, C. Normalización de lotes: Aceleración del entrenamiento de redes profundas al reducir el cambio de covariable interno. En Conferencia internacional sobre aprendizaje automático, 448–456 (PMLR, 2015).

Abadi, M. et al. TensorFlow: aprendizaje automático a gran escala en sistemas distribuidos heterogéneos. arXiv e-printsarXiv:1603.04467 (2016).

Walt, SVD, Colbert, SC & Varoquaux, G. La matriz numpy: una estructura para el cálculo numérico eficiente. computar ciencia Ing. 13, 22–30 (2011).

Artículo Google Académico

Van der Walt, S. et al. scikit-image: Procesamiento de imágenes en python. PeerJ 2, e453 (2014).

Artículo PubMed PubMed Central Google Académico

Crimi, A., Bakas, S., Kuijf, H., Menze, B. & Reyes, M. Brainlesion: Glioma, Multiple Sclerosis, Stroke and Traumatic Brain Injuries: Third International Workshop, BrainLes 2017, realizado en conjunto con MICCAI 2017 , Quebec City, QC, Canadá, 14 de septiembre de 2017, Documentos seleccionados revisados, vol. 10670 (Primavera, 2018).

Joseph, VR Relación óptima para la división de datos. Estadística Anal. Datos mín. Ciencia de datos de ASA. J. 15, 531–538 (2022).

Artículo MathSciNet Google Académico

Krizhevsky, A., Sutskever, I. & Hinton, GE Clasificación Imagenet con redes neuronales convolucionales profundas. En Avances en sistemas de procesamiento de información neuronal, 1097–1105 (2012).

Kingma, DP & Ba, J. Adam: Un método para la optimización estocástica. CoRRabs/1412.6980 (2015).

Aster, RC, Borchers, B. & Thurber, CH Estimación de parámetros y problemas inversos (Elsevier, 2018).

Li, Z. et al. Operador neuronal de Fourier para ecuaciones diferenciales parciales paramétricas. preimpresión de arXiv arXiv:2010.08895 (2020).

Descargar referencias

Este trabajo fue apoyado por el Ministerio Federal Alemán de Educación e Investigación (BMBF) dentro del alcance del proyecto AVATARS (FKZ 031B0770A).

Financiamiento de acceso abierto habilitado y organizado por Projekt DEAL.

Instituto Leibniz de Genética Vegetal e Investigación de Plantas de Cultivos, OT Gatersleben, Corrensstr. 3, 06466, Selandia, Alemania

Anto Nivin María Antonio, Narendra Narisetti y Evgeny Gladilin

También puede buscar este autor en PubMed Google Scholar

También puede buscar este autor en PubMed Google Scholar

También puede buscar este autor en PubMed Google Scholar

ANMA y NN realizaron los experimentos computacionales, analizaron los datos, escribieron el manuscrito, prepararon figuras y tablas, y revisaron los borradores del artículo. EG concibió y supervisó investigaciones, realizó análisis computacional, preparó figuras y escribió y revisó el manuscrito. Todos los autores estuvieron de acuerdo con el manuscrito en su forma actual.

Correspondencia a Anto Nivin Maria Antony o Evgeny Gladilin.

Springer Nature se mantiene neutral con respecto a los reclamos jurisdiccionales en mapas publicados y afiliaciones institucionales.

Acceso abierto Este artículo tiene una licencia internacional Creative Commons Attribution 4.0, que permite el uso, el intercambio, la adaptación, la distribución y la reproducción en cualquier medio o formato, siempre que se otorgue el crédito correspondiente al autor o autores originales y a la fuente. proporcionar un enlace a la licencia Creative Commons e indicar si se realizaron cambios. Las imágenes u otro material de terceros en este artículo están incluidos en la licencia Creative Commons del artículo, a menos que se indique lo contrario en una línea de crédito al material. Si el material no está incluido en la licencia Creative Commons del artículo y su uso previsto no está permitido por la regulación legal o excede el uso permitido, deberá obtener el permiso directamente del titular de los derechos de autor. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.

Reimpresiones y permisos

Maria Antony, AN, Narisetti, N. y Gladilin, E. U-Net controlado por datos FDM como un solucionador PINN de Laplace 2D. Informe científico 13, 9116 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-35531-8

Descargar cita

Recibido: 18 Agosto 2022

Aceptado: 19 de mayo de 2023

Publicado: 05 junio 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-35531-8

Cualquier persona con la que compartas el siguiente enlace podrá leer este contenido:

Lo sentimos, un enlace para compartir no está disponible actualmente para este artículo.

Proporcionado por la iniciativa de intercambio de contenido Springer Nature SharedIt

Al enviar un comentario, acepta cumplir con nuestros Términos y Pautas de la comunidad. Si encuentra algo abusivo o que no cumple con nuestros términos o pautas, márquelo como inapropiado.